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数学文化在教学中的运用

来源:未知 作者:刘琳娜 浏览数:1217 发布时间:2021-04-07

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  • 数学文化在教学中的运用

     刘琳娜 基础教育课程 3月15日

    数学文化是实现学科育人的重要载体。当前在小学HPM(History & Pedagogy of Mathematics,数学史与数学教育的关系)教学中,存在着史料匮乏、知识零散、史料与教学活动脱节等现象。本文以分数、圆、圆周率这三个重要概念为例,提出了借助史料理解抽象概念,在文化渗透中突破学习难点;鼓励学生提出问题,在历史脉络中拓展文化视野;解构史料内涵,在与教学活动融通中感受文化意蕴等教学实践的路径策略。


    随着优秀传统文化对学校课程建设影响力逐步扩大,HPM(History&Pedagogy of Mathematics,数学史与数学教育的关系)的相关研究及其在数学课堂中的应用日益受到关注。在小学数学教材中,不同内容领域呈现了一些数学史料,如古人的刻痕记数法、算筹、分数的产生、古代数学家的故事等。但是,人类数学史的发展已历经数千年,将数千年的文化融入有限的教材和课堂中,尤其是在面对小学生时,其文化价值并未得到有效的彰显。数学文化是实现学科育人的重要载体,如何用好数学史料,在文化传承与文化精髓的感悟中实现立德树人,是我们亟待思考的问题。本文以小学数学中分数、圆、圆周率这三个重要概念为例,探讨在教学中如何运用数学文化实现数学学科的育人功能。

    一、文化视角下HPM教学的价值定位

    美国数学家哈斯勒认为,“数学史对数学教育的作用有三:第一,激发学生学习数学的兴趣;第二,丰富和活跃数学教师的教学;第三,使教师和学生了解数学的价值及其与人类文明的发展之间不可分割的联系”。哈斯勒大概是第一个从数学与人类文明之间关系的视角来看待数学史教育价值的学者。M·克莱因也大量讨论了作为人类文化子系统的数学文化所涉及的数学与其他文化、与整个文明的关系。当前,将数学史资料引入课堂教学,对于达成哈斯勒提出的前两点效果显著,然而从文化与文明的视角来看待数学史价值并未得到应有的重视。


    “文化”一词的内涵丰富,源远流长,不同学者也有不同的定义,这里不再赘述。但是从字源的角度来看,“文化”至少包含两层意思:其一,涉猎广泛的知识并进行应用;其二,要进行内心的自我修养,从而实现“教化”的目的。“文”是手段和载体,“化”才是目的和根本。


    丰富的数学史料就好像各种丰富交错在一起的“文”,我们可以借助这些“文”,让学生感受到人类文明的发展、文化的进步,从而实现“以文化人”“以文化育人”的目标。当然,仅有史料不足以“化人”“育人”,我们还需要从人类文明发展与传承的角度来重新认识史料,使学生感悟到数学精神是如何推动数学和人类的发展与进步的。

      二、当前小学HPM教学的现状与存在的问题


    (一)史料匮乏且存在科学错误


    有的教材呈现了历史上不同时期数学概念的发展历程,让学生了解数学的发展是一个漫长的过程,然而篇幅、课时有限,也只能做到“管中窥豹”。例如,有教师看到,1000多年前,埃及人用一个卵形记号“图片来表示分子为1的分数,并给出了图片的例子(图1),从而带着学生推演出图片图片等分子为1的分数的记录方式。然而,古代埃及人真的是完全按照这样的规律来记录分数的吗?进一步查阅史料会发现,古代埃及人的分数有一套专用的记法。在象形文字中,一般是用一个卵形写在整数上端,表明这是一个分数,但少数几个分数(如图片图片)却用特殊符号表示,如图2中的象形文字。为什么这两个分数不符合一般的记数法规律?古老而神秘的古埃及文明对于当代研究者来说可能依然是个谜,但我们却不能无视史实的存在,更不能断章取义地错误推演。相反,以此激发学生对未知世界的好奇心和数学探究的兴趣,不失为一个契机。

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    二)零散的知识点缺少文化传承


    数学文化之所以被隐喻为“长河”,就是因为其连续性地存在而非零散地飘浮于人类生存时空,数学家们漫漫的探索之路,既有平缓的过渡也有湍急的险滩,险滩尤其成为璀璨文化不可或缺的组成部分,在这里传承更多的是创新与创造。例如,对于圆周率π的精确值,几千年来吸引着无数数学家不断追寻。在教学“圆的周长”这一内容时,不同版本教材的呈现方式大同小异,主体活动是让学生通过测量不同大小的圆的周长与直径再相除,找到其倍数关系;有的教材会介绍祖冲之计算圆周率的故事,以及当前计算机已经能够计算到上亿位的成就;少数教材会呈现通过圆外切正方形和内接正六边形来寻找π值的大致范围。教学中,教师在课堂上往往先让学生用测量相除的实验法得到π值,接着就会介绍祖冲之将π值精确到小数点后7位的伟大成就。其实,关于π的发展史,大体可以分为三个阶段:第一阶段,测量法;第二阶段,正多边形法(阿基米德、刘徽、祖冲之等);第三阶段,公式计算法(格列高利、牛顿等人无需正多边形介入,只用公式计算)。π的探索过程既有连续性也有阶段性,是一位位科学家前赴后继不断创新的过程。祖冲之的方法可能是在刘徽割圆术(也称阿基米德正多边形法)的基础上对圆周率精确值计算的重大突破。如果教师在教学中能注意适时启发、引导,一定有助于激发学生的学习兴趣,培养科学精神,形成良好的科学品质。



    (三)史料与教学活动不能相互贯通


    很多教师认为数学教学“加了史料不多,少了史料也无妨”,导致数学史料与课堂活动不能相得益彰、融会贯通。例如,在教授“圆的认识”一课时,教师一般会介绍“一中同长”这句话,却没有用好这句话来帮助学生深刻认识圆的特征。


    涂兴佩在《π的奇幻漂流》一文中指出,在古代,圆是人类生活中最常见的图形之一:金黄的太阳、皎洁的月亮、旋转的年轮……在对这一类事物日积月累的接触和观察中,人们渐渐抽象出了一个几何概念:圆。泽布洛夫斯基在《圆的历史——数学推理与物理宇宙》一书中也指出,风滚草以滚动的方式在草原上移动;激流以旋涡的方式滚滚向前;非洲的某些蚂蚁在遇到洪水威胁时会聚成一个球,以滚动的方式逃生;一条鱼冲到水面吞食一只苍蝇,湖面会荡起环形的波纹;溪流中的鹅卵石被水流磨成圆形……这些都是圆的实例,尽管从几何学的观点来看,这些都算不上严格的圆,但它们确实激发了人们形成圆的概念。同时,远在发明文字以前,人类就开始用各种圆形物件装饰自己的身体,如戒指、手镯、脚镯等,原始人的房子也通常建成圆柱形或半圆形。


    以上都是古代的人们在生活中积累的对圆的认识,以及凭借经验对圆进行的各种利用,而在知识层面上会做圆并且真正了解圆的性质,却是在很久之后的2000多年前。我国古代科学家墨子最早给出了圆的概念,即“圆,一中同长也”。希腊数学家欧几里得给圆下定义是在此之后的100年。尽管圆大量地存在于人们的生活中,但人类对圆从感性到理性认识的飞跃却经历了一个漫长的时期,仅仅给学生介绍“一中同长”这句话并不能够展示人们对圆的认识过程和数学对人类文明发展的贡献。


    学HPM教学的实践探索



    《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出,数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动。尽管《义务教育数学课程标准(2011 年版)》中还未专门提及数学文化,但我们也可以从高中数学课程标准中有所借鉴,HPM教学绝不仅仅是史料的简单添加,而是从文化的角度用好史料,发挥数学学科育人价值的有效路径。



    (一)借助史料理解抽象概念,在文化渗透中突破学习难点


    在小学阶段渗透数学文化并不是一件容易的事情,其路径不是让学生了解太多的史实从而加重学习负担,而是借助史料帮助学生理解抽象数学概念,在文化渗透中突破学习难点,进而引发学生对数学发展历史的好奇和敬畏之心。


    例如,学生在三年级初步认识分数时,首先认识的是“单位分数(分子为1的分数)”。在教学中我们发现,一些学生在解释图片的意思时,往往认为“图片表示把1张披萨平均分成两份,分子1表示的是1张披萨”;在解释了分子和分母的含义后,在后面认识图片的活动时,依然有学生认为图片就是表示“把1张披萨平均分成4份,1表示的是1 张披萨”。之所以如此,原因在于学生初步认识分数时借助的是1个物体(如1张饼、1个苹果等),而单位分数的分子又是“1”,因此学生将1张披萨中的“1”与分子中的“1”混淆。为破解这一难点,我们将数学史料引入课堂,呈现中国古人和古印度人对“二分之一”的表示方法(图3)。学生边听边看,最后发现中国和古印度虽然对“二分之一”有着不同的表示方式,但相同之处是,古印度人的“2”指的是中国古人下面摆的那2根算筹,表示把1个东西平均分成了2份;“1”就是古人上面摆的那1根算筹,表示每人分得其中的1份。而阿拉伯人在古印度的基础上加了一条横线,就成为现代人的表示方法。数学史的引用使学生眼前一亮,他们不但看到了分数发展的历史,还勾连古今相同之处,正确理解了“二分之一”的意义。认识图片时,教师再引入古埃及人的记录方式,并提出思考问题:古埃及人都是按照这样的规律来记录分数的吗?顺势介绍古埃及图片的独特表示方式,同时补充拓展阅读资料“荷鲁斯之眼”——古埃及人最早使用单位分数,并且借助神话传说中的“荷鲁斯之眼”来简易地表示并帮助记忆这些单位分数。这一史料引发了学生对分数学习的极大兴趣。这些拓展资源进一步打开了学生继续探寻分数历史起源的大门,让学生感受到了数学文化的博大精深和巨大魅力,为五年级学习“分数再认识”奠定了情感与态度基础。


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    (二)鼓励学生提出问题,在历史脉络中拓展文化视野


    如果我们肯给予学生一定的思考时间与鼓励,他们常常能够提出有价值、值得思考的问题。例如,在教授圆的周长时,在学生通过操作测量出圆的周长与直径并计算出倍数关系之后,教师不要急于抛出祖冲之的贡献结束该课,而是可以问问学生:“我们已经知道了π,对于π,大家还有什么想知道的?”此时学生会提出各种问题,例如,所有数学家都是这样计算π值的吗?如果想计算得更加精确,得测量多少个圆?还有没有别的计算方法?π值到底是怎么算出来的?计算机又是怎么计算π值的?学生提出的问题,正是引导他们了解古代数学家创造性的思考路径的契机:阿基米德正是由于意识到运用测量法计算圆周率的局限性,才发明了用正多边形逼近的方法确定π值的范围,而刘徽也是运用这样的方法——借助圆的面积来研究π值。在学生产生好奇和兴趣时,教师可以根据学生的学习能力和兴趣,适时出示历史上计算π值不同方法的相关史料,让学生了解不同方法的发展历程,也可以再设计第二课时的学科实践活动,让学生亲历“正多边形法”求圆周率的过程。此外,还可以给学生推荐一些通俗读物,如李大潜主编的数学文化小丛书之《圆周率π漫话》,让学生对π的发展历史有一个整体的认知, 也为对π感兴趣的学生提供拓展文化视野的丰富资源。






    (三)解构史料内涵,与教学活动融通中感受文化意蕴


     

    古人的话往往言简意赅却意蕴深刻,如“一中同长”,简单的四个字完美地概括了圆的构成要素和本质特征。在“圆的认识”一课上,为了能够让学生进一步对这句话有所感悟和理解,我们在课堂上设计了徒手画圆、直尺画圆、圆规画圆三个活动任务。学生操作后,引导他们对比不同的作品,思考并讨论:徒手为什么画不圆?要想用直尺画得越来越接近圆,有什么办法?圆规画圆保证了什么不变?在对这些驱动性问题的讨论中,尽管并未出现“一中同长”这个词,但其精髓已经渗透其中:学生逐渐意识到,不论用什么方法,“不圆”的作品都是因为圆心(一中)到圆上的距离(半径)发生了变化,要想画得圆,需要想办法保持这个距离不变(同长)。对“如何用直尺画得更圆”这一问题,学生能够想到借助正多边形来画圆,还能够想到将圆周一点点分解为小的直线段来辅助画圆,这其中蕴含的正是重要的“以直代曲”的数学思想。继续讨论下去,学生发现,分解得越细,画出来的图形就越圆,此时学生脑海中已经开始有了“极限思想”的萌芽,而这正是数学家们千百年来研究圆这一曲边图形所走过的探究之路。


    本课快结束时,教师还设计了让学生寻找生活中大量存在的圆的例子,体会生活中的圆,欣赏生活中的圆,并再次运用“圆,一中同长也”来解释“为什么很多的杯子、碗、井盖都呈圆形”,围绕这一史料,借助不同方式从不同角度引导学生深度理解圆的特征。课程结束时,学生对数学史料产生了浓厚的学习兴趣。例如,有学生问道:“圆规是谁发明的?圆规一开始就长这个样子吗?”学生对圆规的历史产生了好奇,教师又跟学生一起查找了有关圆规的史料:传说是伏羲创造了画圆的“规”。这进一步让学生体会了“不以规矩,不能成方圆”(《孟子·离娄章句上》)这句话的引申之义,感悟到了人类社会中“规矩”“法制”的重要性。总而言之,该案例通过数学史料在教学中的运用,超越了单纯的数学学科知识学习,实现了数学学科的育人价值。


    (本文系北京市教育科学“十三五”规划2017 年度重点课题“小学数学实践活动课程中学生发展核心素养的表现性评价研究”(课题编号:CAEA17091)的阶段成果。作者:刘琳娜,北京教育学院初等教育学院副教授,博士。)

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