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给费马的一封信:为什么要留下数学之谜?

来源:未知 作者:未知 浏览数:1190 发布时间:2021-03-09

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  • 给费马的一封信:为什么要留下数学之谜?

     

    编者按:本文是朱善军老师参加华东师范大学数学文化话剧征文比赛的参赛作品(荣获二等奖)。转文有删改。今将文章分享于此,与诸君共享。

    20201121日晚,大型原创数学话剧《费马大定理》于华东师范大学(以下简称:华东师大)紫竹教育园区音乐厅首映,场面盛大。话剧开端借主持人柳形上与费马方程的谈话逐渐展开费马大定理,随后至话剧结尾处仍展现二人谈话,让人能够身临其境,从现实回溯到费马时代。笔者就是坐着这样一台时光机,进入费马的时代。(以下以穿越者“我”的口吻开始了费马精彩的一生)

     

    1.谁是费马?

    费马,英文名是Pierre de Fermat,翻译成我们中文应该称他为皮埃尔·德·费马,出生于17世纪。更加准确地说,费马先生出生于1601年的某天。费马出生那天,时光机把我送到了法国的图卢兹附近的博芒特·德·洛马格,我只听得一阵婴儿的哭声,不消说,一位影响法国数学的数学家费马诞生了。

     

    费马的父亲是一位皮革商,对自己的儿子费马教育上特别上心。然而,费马自身或许也没有想好以研究数学作为自己的职业生涯,或彷徨,或踌躇,在三十而立的年纪里费马却做着图卢兹地方议事辩护士的职务。费马当真是将自己的主业定格为律师了,这是我亲眼所见。更让人不可思议的是,他居然只是将自己的业余时间用于研究数学。在往后的日子里,费马在数学方面的朋友有以下人物:

    梅森、罗贝瓦尔、帕斯卡……

    这些数学家都是同时代响当当的大人物,可以想见,费马所接触的数学圈子是非常一流的了。

    不过这一切并非是靠运气那么简单了。早在费马25岁时(1636年)他就提出自己有了解析几何这个概念了,而是还是七年前就有的。这让当时作为吃瓜群众的我不禁想起牛顿和莱布尼兹关于微积分发明权的争斗,原来费马也会和笛卡尔争夺解析几何的发明权啊!虽然我并不能忍受两位大数学家因为发明权问题而恼羞成怒,但是也无可奈何,只能慢慢寻找机会接触费马先生!

    2.费马的数论研究之旅

    16401018日,费马在给德贝西的信中给出了所谓的费马小定理(little Fermat theorem);

    16401225日,费马在给数学家梅森的信中指出了下面一个猜想:

    一个形式为的素数可以表示成两个平方数之和。

    上述两个猜想均是由费马自己独立提出来的,但是出于某些原因,费马并没有给出证明。作为一名从21世纪穿越过来的现代人,我赶紧将这两个猜想的研究结果写信给费马,信中的内容是这样的:

    亲爱的费马先生:

    您好!

    我是一位来自遥远东方的数学爱好者。听闻您在1640年提出两个令人惊奇的猜想,我感到十分兴奋!还有什么比这个更令人高兴的呢!然而,我想告诉您这两个猜想都是无比正确的,他们在未来都将被一位叫做欧拉的大数学家给证明!关于费马小猜想,数学家欧拉在1736年将会发表它的第一个证明,至于另一个猜想则是欧拉在1754年给出的证明,并且还将指出这种表达式是唯一的。

    哦,费马先生,您一定觉得我是一个天然的疯子!信不信取决于你,但愿您不用为证明不出来结果而感到异常苦恼! 

    ——匿名人

    费马先生由于平时公务繁忙,也没有时间理会来自陌生人的信件,因此并没有将该信件放在心上。只是他个人比较好奇的是欧拉到底是怎样一位人物,他向他的一系列数学家好朋友询问都发现,找不到叫做欧拉的数学家。后来费马先生不再执着于这份信本身,而是接着去研究一系列数论问题。比如,由费马本人解决的问题就有以下一些:

    ·      每一个奇素数可用且仅可用一种方式表为两个平方数之差。

    ·      不存在正整数,使得.

    ·      ……

    其中,在解决数论相关问题时,费马有自己的独门绝技——无穷递减法,这种方法可以处理一些很有趣的数学问题。比如,费马就考虑利用无穷递减法来证明下述问题:

    ·      不存在正整数,使得.

    关于此,1637年,费马在丢番图的梅齐利亚克译本的手抄本第二卷问题8的旁边写下这样一段话:

    “分一个立方数为两个立方数,分一个四次幂为两个同次幂,这是不可能的:我确定找到了一个巧妙的证明, 但是页边太窄,写不下。 

    费马的评注用数学语言表述为:

    不存在正整数,使得(当时).

    后世也称它为费马最后定理(Fermats last theorem。由于费马大定理对于整个后来的数学发展影响深远,以至于后世有很多数学家为得到它的证明而感到兴奋。事实上,数百年来有很多人都在质疑费马是否已经给出了费马大定理的证明。关于此,有一个比较有趣的解释来自于数学家Dirk J.Struik。他在其经典著作《A concise History of mathematics(数学简史)》 中写道:

    If Fermat had such admirable proof, then three centuries of in intense research have failed to produce again. It is safer to assume that even the great Fermat slept sometimes.

     

    翻译过来就是,数学家Dirk J.Struik认为费马当时“打盹”了,也就是说,费马当时以为自己证明出来了,实际上证明中有一个错误但是没有被发现。言外之意则是表明数学家有时候也会犯一些错误,难免会“打盹”。其实,这样的事情屡见不鲜,比如已故数学家迈克尔·阿蒂亚就曾宣称自己证明了黎曼猜想,整个数学界也没有明确说明他是否证明了猜想,于是该事自阿蒂亚离世之后就不了了之。

    尽管Struik已经给出了一个较为合理的解释,然而我对费马所作出的略不负责任的评注仍感到非常困惑和不满,因此再次写信给费马先生以寻求问题的答案。

    亲爱的费马先生:您好!我是上一次告知您后世有一位叫欧拉的数学家的人,但愿您没有忘记我!我无意中注意到您在《算术》一书中留下的一个精彩注解:“······我确定找到了一个巧妙的证明,但是页边太窄,写不下。” 我想冒昧地询问您一句,您是否确定找到了这样一个证明,如果找到了请及时作出发表,如果没有找到请及时修改自己的评注,否则将会对后世造成很大的争议。

    ——匿名人

    费马先生依旧没有为这封信作出回复,我也不再继续给费马写信,因此这封信也成为我为费马所写的“最后一封信”。费马的一生是精彩无比的,他不仅仅在数论领域里作出杰出贡献,而且还结交数学家帕斯卡,在概率论领域里也作出了很多有影响力的工作。费马或许没有解答我对他的灵魂发问,也或许不能理解欧拉的存在,更加不知道他所提出的费马大定理成为了几百年数学家为之努力的奋斗目标。这对费马来说,是否是一种遗憾呢?或许,当知道后世有人证明了自己的猜想后,费马的心情也许会舒畅很多,也会为自己当时的轻率感到抱歉。

    1665112日,费马去世。在他死后五年,即1670年相关笔记才被他的儿子整理发表。后世的数学家们为费马提出的猜想感到兴奋,其中不乏有以下数学家在费马大定理上作出显著突破:

    ·      1770年,欧拉给出n=3证明;

    ·      1825年左右,勒让德和狄利克雷,独立给出n=5证明;

    ·      1839年,拉梅给出n=7证明;

    ·      库默尔在理想数理论中发展了与之相联系的课题,为费马关系式的不可性导出一般的条件;

    ·      1908年,德国数学家瓦尔夫斯克尔设立了一个首位证明“费马大定理”的奖金;

    ·      ······

    ·      1993年,英国数学家怀尔斯证明了半稳定椭圆曲线的谷山-志村-韦伊猜想;

    ·      1995年,怀尔斯的证明被广为认可,至此费马大定理证明结束!

    3.重归竹里馆

    从费马的时代一步步走入现代,这就像是在见证费马大定理的“一生”。从它刚刚诞生到20世纪末21世纪初,这就像是一部真正意义上的成长史。数学猜想得以证明的那一天起,猜想就成为了令人信服的定理。也伴随着竹里馆主持人的结语,笔者从17世纪的费马时代穿越回来,开始欣赏话剧的结尾部分。

    当话剧落幕的那一刻,观众们意识到这场与《费马大定理》的邂逅已经进入尾声。坐在观众席中的我也开始准备离去,只是心有不甘。毕竟,费马还没有告诉我他为什么要写下那段令人不解的谜语:

    我确定找到了一个巧妙的证明,但是页边太窄,写不下。

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